Question

13．（1）在△ABC中，若2lgtanB=lgtanA+lgtanC，则B的取值范围是[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
（2）求函数y=7-4sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x的最大值10．

Answer 1

分析 （1）通过对数的基本运算，推出三角形的角的关系，利用两角和的正切以及三角形的内角和，求出tanB的范围，即可得到B的范围．
（2）利用正弦函数的二倍角公式将f（x）=7-4sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x化为：f（x）═（sin2x-1）²+6，即可得到答案

解答 解：（1）由题意，得tan²B=tanAtanC，
∵tanB=-tan（A+C）=$\frac{tanA+tanC}{tanA•tanC-1}$，
∴tanB=$\frac{tanA+tanC}{ta{n}^{2}B-1}$，
∴tan³B-tanB=tanA+tanC≥2$\sqrt{tanA•tanC}$=2tanB，
∴tan³B≥3tanB，tanB＞0
∴tanB≥$\sqrt{3}$，
∴B∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
（2）∵f（x）=7-4sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x
=7-2sin2x+4cos²x•sin²x
=7-2sin2x+sin²2x
=（sin2x-1）²+6．
当sin2x=-1时，即2x=2kπ-$\frac{π}{2}$时，即x=kπ-$\frac{π}{4}$时，k∈Z时，f（x）有最大值．
∴f（x）_max=10，
故答案为：（1）[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），（2）10

点评 本题考查三角函数中的恒等变换的应用，三角函数的化简求值，着重考察正弦函数的二倍角公式及正弦函数的性质，突出二次函数的配方法的考察，属于中档题．