Question

3．设对任意的实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0总成立，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数令f（x）=x²+ax-3a，依题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，解之即可求得实数a的取值范围．

解答 解：令f（x）=x²+ax-3a，
∵对任意的实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0总成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{（-1）}^{2}+a×（-1）-3a＜0}\\{{1}^{2}+a×1-3a＜0}\end{array}\right.$，
解得：a$＞\frac{1}{2}$，
故答案为：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，构造函数f（x）=x²+ax-3a，依题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$是解决问题的关键，考查等价转化思想与函数与方程思想，也可分离参数a，利用对勾函数的性质解决，属于中档题．