Question

8．不等式x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$的解集为（　　）

• A． {x|1＜x＜2}
• B． {x|x＜1或x＞2}
• C． ∅
• D． {x|0＜x＜1或x＞2}

Answer 1

分析 把不等式两边化为同底数，然后对x分类求解得答案．

解答 解：由x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$，得x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜x^-1，
当0＜x＜1时，有$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＞-1=lo{g}_{\frac{1}{2}}2$，得0＜x＜2，∴0＜x＜1；
当x=1时，不等式不成立；
当x＞1时，有$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＜-1=lo{g}_{\frac{1}{2}}2$，得x＞2，∴x＞2．
综上，不等式x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$的解集为{x|0＜x＜1或x＞2}．
故选：D．

点评 本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．