题目内容

14.甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目,共3关,甲作为嘉宾参与答题,若甲回答错误,乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会,若乙回答正确,则甲继续闯关,若某一关通不过,则收获前面所有累积奖金.约定每关通过得到奖金2000元,设甲每关通过的概率为$\frac{3}{4}$,乙每关通过的概率为$\frac{1}{2}$,且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立.
(1)求甲、乙获得2000元奖金的概率;
(2)设X表示甲、乙两人获得的奖金数,求随机变量X的分布列和数学期望E(X).

分析 (1)甲、乙获得2000元奖金的概率有两种情况:①第一关甲答对,第二关甲、乙都答错;②第一关甲答错,乙答对,第二关甲答错,可求得结论;
(2)确定变量的取值,求出相应的概率,即可求随机变量X的分布列及数学期望.

解答 解:(1)甲、乙获得2000元奖金的概率有两种情况:①第一关甲答对,第二关甲、乙都答错;②第一关甲答错,乙答对,第二关甲答错.
故其概率为:P=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$…(4分)
(2)根据题意,X=0,2000,4000,6000,
P(X=0)=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$;…(6分)
P(X=2000)=$\frac{1}{8}$;
P(X=4000)=$(\frac{3}{4})^{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{4}$=$\frac{15}{128}$;…(8分)
P(X=6000)=$(\frac{3}{4})^{3}+(\frac{3}{4})^{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×{C}_{3}^{1}$=$\frac{81}{128}$…(10分)
随机变量X的分布列为

X0200040006000
P$\frac{1}{8}$$\frac{1}{8}$$\frac{15}{128}$$\frac{81}{128}$
所以E(X)=0×$\frac{1}{8}$+2000×$\frac{1}{8}$+4000×$\frac{15}{128}$+6000×$\frac{81}{128}$=$\frac{36125}{8}$(元)…(12分)

点评 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列与数学期望,考查学生的计算能力,属于中档题.

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