Question

证明：若f（x）对定义域内的任意x都有f（x+a）=

1-f(x)

1+f(x)

（a≠0），则T=2a．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件得出：f（x+2a）=

1-f(x+a)

1+f(x+a)

=

1- 1-f(x) 1+f(x)

1+ 1-f(x) 1+f(x)

=

2f(x)

2

=f（x）（a≠0），T=2a．

解答： 解：∵f（x）对定义域内的任意x都有f（x+a）=

1-f(x)

1+f(x)

（a≠0），
∴f（x+2a）=

1-f(x+a)

1+f(x+a)

=

1- 1-f(x) 1+f(x)

1+ 1-f(x) 1+f(x)

=

2f(x)

2

=f（x）（a≠0），
∴T=2a．

点评：本题考查了抽象的性质，利用解析式恒等变换证明，属于中档题．