Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．
（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且以PQ为直径的圆过原点，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）将圆的方程化为标准方程写出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据直线l与圆没有公共点得到d大于r，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据题意得出直线OP与直线OQ垂直，即向量的数量积为0并列出式子，将直线l方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入式子列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答： 解：（1）将圆的方程化为标准方程得：（x+

1

2

）²+（y-3）²=9

1

4

-m，
∴圆心C（-

1

2

，3），半径r²=9

1

4

-m＞0，即m＜

37

4

，
∵直线l与圆C没有公共点，且C到直线x+2y-3=0的距离d²=(

|- 1 2 +2×3-3|

1+4

)2=

5

4

，
∴9

1

4

-m＜

5

4

，即m＞8，
则m的范围为（8，

37

4

）；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为以PQ为直径的圆过原点，
所以△OQP为直角三角形，即OP⊥OQ，
所以

OP

•

OQ

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，①
由

x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0

得，5x²+10x+4m-27=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=

4m-27

5

，
则y₁y₂=

3-x1

2

×

3-x2

2

=

9-3(x1+x2)+x1x2

4

=

15+ 4m-27 5

4

，
代入①得，

4m-27

5

+

15+ 4m-27 5

4

=0，解得m=3，
所以实数m的值是3．

点评：本题考查了直线与圆位置关系、相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的标准方程及其性质、相互垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．