Question

17．已知直线l：y=kx+$\sqrt{3}$与y轴的交点是椭圆C：x²+$\frac{y^2}{m}=1（{m＞0}）$的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得y=kx+$\sqrt{3}$与y轴的交点，即可求得椭圆的焦点坐标，由椭圆的性质即可求得m值，即可求得椭圆C的方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得k的值．

解答 解：（1）由直线l：$y=kx+\sqrt{3}$与y轴的交点坐标为$F（0，\sqrt{3}）$，
∴椭圆C：${x^2}+\frac{y^2}{m}=1（{m＞0}）$的一个焦点坐标为$F（0，\sqrt{3}）$，
∴椭圆的焦半距$c=\sqrt{3}$，则m=c²+1=3+1=4，
故所求C的方程为$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$．--------------------（5分）
（2）将直线l的方程$y=kx+\sqrt{3}$代入$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$，整理得$（{k^2}+4）{x^2}+2\sqrt{3}kx-1=0$．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-\frac{{2\sqrt{3}k}}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=-\frac{1}{{{k^2}+4}}$．--------------（8分）
假设以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+\sqrt{3}k（{x_1}+{x_2}）+3$，于是$-\frac{{1+{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{6{k^2}}}{{{k^2}+4}}+3=0$，解得$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，
经检验知：此时（*）式△＞0，适合题意．
故存在$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．-------------------（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．