Question

9．已知五边形ABCDE是由直角梯形ABCD和等腰直角三角形ADE构成，如图所示，AB⊥AD，AE⊥DE，AB∥CD，且AB=2CD=2DE=4，将五边形ABCDE沿着AD折起，且使平面ABCD⊥平面ADE．
（Ⅰ）若M为DE中点，边BC上是否存在一点N，使得MN∥平面ABE？若存在，求$\frac{BN}{BC}$的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求二面角A-BE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点为N，AD中点为P，连接MN，NP，MP，可得面MNP∥面ABE，即边AB上存在这样的点N，且$\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$，使得MN∥平面ABE．
（2）以A为原点，以AD为y轴，以AB为z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，0，4），$C（{0，2\sqrt{2}，2}）$，$D（{0，2\sqrt{2}，0}）$，$E（{\sqrt{2}，\sqrt{2}，0}）$．利用向量法求解．

解答 解：（1）证明：取BC中点为N，AD中点为P，
连接MN，NP，MP．∵AE∥PM，AE⊆面ABE，MP?面ABE∴PM∥面ABE，
同理PN∥面ABE，又MP∩NP=P∴面MNP∥面ABE．
∴边AB上存在这样的点N，且$\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$，使得MN∥平面ABE．
（2）以A为原点，以AD为y轴，以AB为z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（0，0，4），$C（{0，2\sqrt{2}，2}）$，$D（{0，2\sqrt{2}，0}）$，$E（{\sqrt{2}，\sqrt{2}，0}）$．
∵DE⊥AE，DE⊥AB∴DE⊥面ABE∴面ABE的一个法向量为$\overrightarrow{DE}=（{\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0}）$
设面BCE的一个法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$∵$\overrightarrow{BC}=（{0，2\sqrt{2}，-2}）$，$\overrightarrow{BE}=（{\sqrt{2}，\sqrt{2}，-4}）$．
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=2\sqrt{2}y-2z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BE}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-4z=0\end{array}\right.$令y=1，则x=3，$z=\sqrt{2}$∵$\overrightarrow n=（{3，1，\sqrt{2}}）$．
∴$cos\left?{\overrightarrow{DE}，\overrightarrow n}\right＞=\frac{{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{DE}}||{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{{2×2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
∴二面角A-BE-C的平面角的余弦值为$-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查了空间线面平行的判定，存在性问题，向量法求二面角，属于中档题，