Question

8．已知函数f（x）=|x-2|-|x-4|．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若函数g（x）=$\frac{1}{m-f（x）}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于m=f（x）在R无解，求出f（x）的范围，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）原不等式即为|x-2|-|x-4|＜0，
若x≤2，则2-x+x-4＜0，符合题意，∴x≤2，
若2＜x＜4，则x-2+x-4＜0，解得：x＜3，∴2＜x＜3，
若x≥4，则x-2-x+4＜0，不合题意，
综上，原不等式的解集是{x|x＜3}；
（2）若函数g（x）=$\frac{1}{m-f（x）}$的定义域为R，
则m-f（x）=0恒不成立，
即m=f（x）在R无解，
|f（x）|=||x-2|-|x-4||≤|x-2-（x-4）|=2，
当且仅当（x-2）（x-4）≤0时取“=”，
∴-2≤f（x）≤2，
故m的范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想以及分类讨论思想，是一道中档题．