Question

4．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又PA=AB=4，AD=CD，∠CDA=120°，点N是CD的中点．
（1）求证：平面PMN⊥平面PAB；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理先证明MN⊥平面PAB即可证明平面PMN⊥平面PAB；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵△ABC是正三角形，AB=BC，
在△ACD中，AD=CD，则△ABD≌△CDB，
∴M为AC的中点，
∵点N是CD的中点，∴MN∥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．
∵∠CDA=120°，∴，∠DAC=30°，
∵∠BAC=60°，∴∠BAD=90°，即AB⊥AD，
又PA∩AC=A，∴AD⊥平面PAB．
∴MN⊥平面PAB．
∵MN?平面PMN，
∴平面PMN⊥平面PAB．
（2）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
∴B（4，0，0），C$（2，2\sqrt{3}，0）$，$D（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$，P（0，0，4）．
由（1）可知，$\overrightarrow{DB}=（4，-\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$为平面PAC的法向量．
$\overrightarrow{PC}=（2，2\sqrt{3}，-4）$，$\overrightarrow{PB}=（4，0，-4）$．
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2\sqrt{3}y-4z=0}\\{4x-4z=0}\end{array}\right.$，
令z=3，得x=3，$y=\sqrt{3}$，则平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（3，\sqrt{3}，3）$，
设二面角A-PC-B的大小为θ，则$cosθ=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{n}|\;|\overrightarrow{DB}|}=\frac{\sqrt{7}}{7}$．
由题意值二面角A-PC-B是锐二面角，
则二面角A-PC-B余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．