Question

1．已知圆N的圆心在直线l：3x-4y+7=0，且圆N与y轴切于点（0，4）．
（1）直线l₁∥l，且与圆N相切，求直线l₁的方程；
（2）若过点D（3，6）的直线l₂被圆N所截的弦长为$4\sqrt{2}$，求直线l₂的斜率．

Answer 1

分析 （1）求出圆心坐标、圆的半径，利用直线l₁∥l，且与圆N相切，求直线l₁的方程；
（2）若过点D（3，6）的直线l₂被圆N所截的弦长为$4\sqrt{2}$，得${（2\sqrt{2}）^2}={r^2}-{d^2}$，即可求直线l₂的斜率．

解答 解：（1）∵圆N与y轴切于点（0，4），
∴圆心N的坐标为直线y=4与直线3x-4y+7=0的交点坐标，
由$\left\{\begin{array}{l}y=4\\ 3x-4y+7=0\end{array}\right.$，得圆心N的坐标为（3，4），
则圆N的半径为3-0=3，
设直线l₁的方程为3x-4y+b=0，
则$\frac{{|{b-7}|}}{5}=3$，解得b=-8或22，
∴直线l₁的方程为：3x-4y-8=0或3x-4y+22=0．
（2）设直线l₂：y-6=k（x-3），
由（1）得圆N的方程为（x-3）²+（y-4）²=9．
圆心N到直线l₂的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，直线l₂被圆N所截的弦长为$4\sqrt{2}$，
得${（2\sqrt{2}）^2}={r^2}-{d^2}$，化简得1+k²=4，即$k=±\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，属于中档题．