设在平面上有两个向量$\overrightarrow a$=(cos α.sin α).$\overrightarrow b$=(-$\frac{1}{2}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$)．(1)求证:向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直,(2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．设在平面上有两个向量$\overrightarrow a$=（cos α，sin α）（0°≤α＜180°），$\overrightarrow b$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求证：向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直；
（2）当向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等时，求α的大小．

分析（1）运用向量的模的公式和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
（2）运用向量的模的平方即为斜率的平方，展开化简结合向量数量积的坐标表示和两角差的正弦公式，以及特殊角的正弦值，即可得到所求角．

解答解：（1）证明：向量$\overrightarrow a$=（cos α，sin α）（0°≤α＜180°），$\overrightarrow b$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$=1，
由（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²=1-1=0，
可得向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直；
（2）当向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等时，
即有（$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$）²=（$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$）²，
即为3$\overrightarrow{a}$²+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=$\overrightarrow{a}$²-2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{b}$²，
即有2$\overrightarrow{a}$²+4$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=0，
即为2+4$\sqrt{3}$•（-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）-2=0，
即有sin（α-30°）=0，
由0°≤α＜180°，可得α-30°=0°，
则α=30°．

点评本题考查向量数量积的坐标表示和性质：主要是向量的平方即为模的平方，向量垂直的条件：数量积为0，考查向量模的公式，以及两角差的正弦公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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	A．	充分不必要条件		B．	必要不充分条件
	C．	充要条件		D．	既不充分也不必要条件

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₃=-26，a₉=4，求：
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）S₈．

12．下列说法正确的是（　　）

	A．	闭区间上函数极大值一定比极小值大
	B．	闭区间上函数最大值一定是极大值
	C．	若\|p\|＜$\sqrt{6}$，则f（x）=x³+px²+2x+1无极值
	D．	函数f（x）在区间（a，b）上一定存在最值

19．极坐标方程ρ（cos²θ-sin²θ）=0表示的曲线为（　　）

9．椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距为$4\sqrt{5}$，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，△PF₁F₂的周长为$4\sqrt{5}+12$，则椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

16．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2）．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．

13．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1若对任意的n∈N^*，（S_n+$\frac{1}{2}$）•k≥$\frac{1}{3}$恒成立，则实数k的取值范围是$[\frac{2}{9}，+∞）$．

14．在二项式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$的展开式中，第三项系数为n-1，求展开式中系数最大的项．

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