Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-x+lnx（a∈R，a≠0）
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间[1，+∞）上函数f（x）的图象恒在直线y=ax下方，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，求出f（1）的值，求出原函数的导函数，得到f′（1）的值，然后由直线方程的点斜式求切线方程；
（Ⅱ）构造辅助函数g（x）=f（x）-ax，把在区间[1，+∞）上函数f（x）的图象恒在直线y=ax下方转化为
在[1，+∞）上g（x）_max＜0恒成立．求出函数g（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，然后对a分类讨论，由导数得到函数g（x）在各区间段内的最大值，由最大值小于0求解a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
当a=2时，f（x）=x²-x+lnx，f′(x)=2x-1+

1

x

．
∴f（1）=0，f′（1）=2．
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=2（x-1），
即2x-y-2=0；
（Ⅱ）令g(x)=f(x)-ax=

1

2

ax2-x+lnx-ax，定义域为（0，+∞），
在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=ax下方，
等价于g（0）＜0在[1，+∞）上恒成立．
∴只要在[1，+∞）上g（x）_max＜0恒成立．
∵g′(x)=ax-1+

1

x

-a=

(ax-1)(x-1)

x

，
由g′（x）=0，得x1=1，x2=

1

a

．
当0＜a≤1时，x1=1≤x2=

1

a

，g（x）在(

1

a

，+∞)上单调递增，
并且在该区间上g（x）∈（g（x₂），+∞），不可能有g（x）_max＜0，不合题意．
当a＞1时，x2=

1

a

＜x1=1，g（x）在（1，+∞）上单调递增，
并且在该区间上g（x）∈[g（1），+∞），不可能有g（x）_max＜0，不合题意．
当a＜0时，x2=

1

a

＜0，x1=1，g（x）在[1，+∞）上单调递减，
g(x)max=g(1)=

1

2

a-1+0-a＜0，解得-2＜a＜0．
综上，a∈（-2，0）时，函数f（x）的图象恒在直线y=ax下方．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的导数，就是曲线过该点的切线的斜率，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属有一定难度题目．