Question

对于任意x∈[-1，0]，恒有

1

3

x3-x2-3x-2m≤3成立，则m的取值范围为（　　）

• A、[-

  2

  3

  ，+∞）
• B、[-1，+∞）
• C、[-

  4

  3

  ，+∞）
• D、[-2，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：将不等式

1

3

x3-x2-3x-2m≤3化简为2m≥

1

3

x3-x2-3x-3，构造函数f（x）=

1

3

x3-x2-3x-3．利用导数求出f（x）在[-1，0]的最大值，从而解得m≥-

2

3

．

解答： 解：∵

1

3

x3-x2-3x-2m≤3，
∴2m≥

1

3

x3-x2-3x-3．
令f（x）=

1

3

x3-x2-3x-3．
则f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．
∴当-1＜x＜3时，f′（x）＜0．
∴x∈[-1，0]时，f（x）单调递减，
∴f（x）的最大值为f（-1）=-

1

3

-1=-

4

3

．
∴任意x∈[-1，0]，恒有

1

3

x3-x2-3x-2m≤3成立等价于
2m≥-

4

3

，即m≥-

2

3

．
故选：A．

点评：本题考查导数在函数求最值中的应用以及恒成立问题的处理技巧，属于中档题．