Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点$P（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，将向量$\overrightarrow{OP}$绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量$\overrightarrow{OQ}$．
（1）若$x=\frac{π}{4}$，求点Q的坐标；
（2）已知函数f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$，令$g（x）=f（x）•f（{x+\frac{π}{3}}）$，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）P点坐标化为（cos$\frac{π}{3}$，sin$\frac{π}{3}$），故Q点坐标（cos（$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$），sin（$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$）），利用和角公式计算即可；
（2）用三角恒等变换化简f（x）的解析式，得出g（x）的解析式，根据正弦函数的性质得出g（x）的值域．

解答 解：（1）P（（cos$\frac{π}{3}$，sin$\frac{π}{3}$），
cos（$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，
sin（$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴点Q的坐标为$（{\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}}）$．
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}$+x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（$\frac{π}{3}$+x）=$\frac{1}{4}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{4}sinx+\frac{3}{4}cosx+\frac{{\sqrt{3}}}{4}sinx=cosx$，
∴g（x）=cosx•cos（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx=$\frac{1+cos2x}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
因$-1≤sin（{2x-\frac{π}{6}}）≤1$，故g（x）的值域为$[{-\frac{1}{4}，\frac{3}{4}}]$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．