Question

11．在平面直角坐标系xOy中，设圆x²+y²-4x=0的圆心为Q．
（1）求过点P（0，-4）且与圆Q相切的直线的方程；
（2）若过点P（0，-4）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B，以OA、OB为邻边做平行四边形OACB，问是否存在常数k，使得?OACB为矩形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设切线方程为：y=kx-4，利用圆心到直线的距离等于半径求出k，即可求过点P（0，-4）且与圆Q相切的直线的方程；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-4\\{x^2}+{y^2}-4x=0\end{array}\right.$得（1+k²）x²-（8k+4）x+16=0，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意知，圆心Q坐标为（2，0），半径为2，设切线方程为：y=kx-4，
所以，由$\frac{|2k-4|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$解得$k=\frac{3}{4}$
所以，所求的切线方程为$y=\frac{3}{4}x-4$，或x=0；
（2）假设存在满足条件的实数k，则设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-4\\{x^2}+{y^2}-4x=0\end{array}\right.$得（1+k²）x²-（8k+4）x+16=0
∵△=16（2k+1）²-64（1+k²）＞0，
∴$k＞\frac{3}{4}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{8k+4}{{1+{k^2}}}$，且y₁+y₂=k（x₁+x₂）$-8=\frac{4k-8}{{1+{k^2}}}$，
∵$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），∴$|\overrightarrow{OC}{|^2}=（{x_1}+{x_2}{）^2}$$+（{y_1}+{y_2}{）^2}=\frac{80}{{1+{k^2}}}$，
又$|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{4-\frac{{{{（2k-4）}^2}}}{{1+{k^2}}}}$=$4\sqrt{\frac{4k-3}{{1+{k^2}}}}$，
要使平行四边形OACB矩形，则$|\overrightarrow{OC}{|^2}=\frac{80}{{1+{k^2}}}$=$|\overrightarrow{AB}{|^2}=16（\frac{4k-3}{{1+{k^2}}}）$，
所以k=2，∴存在常数k=2，使得平行四边形OACB为矩形．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．