Question

14．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y=bx+a，②y=ce^dx拟合，得到回归方程分别为${\widehaty^{（1）}}=0.24x-8.81$，${\widehaty^{（2）}}=1.70{e^{0.022x}}$，作残差分析，如表：

身高x（cm）	60	70	80	90	100	110
体重y（kg）	6	8	10	14	15	18
${\widehate^{（1）}}$	0.41	0.01		1.21	-0.19	0.41
${\widehate^{（2）}}$	-0.36	0.07	0.12	1.69	-0.34	-1.12

（Ⅰ）求表中空格内的值；
（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；
（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．
（结果保留到小数点后两位）
附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_n，y_n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入${\widehaty^{（1）}}=0.24x-8.81$得${\widehaty^{（1）}}=10.39$.10-10.39=-0.39，即可求表中空格内的值；
（Ⅱ）求出残差的绝对值和，即可得出结论；
（Ⅲ）确定残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程．

解答 解：（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入${\widehaty^{（1）}}=0.24x-8.81$得${\widehaty^{（1）}}=10.39$.10-10.39=-0.39．
所以表中空格内的值为-0.39．
（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62，
模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62＜3.7，
所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．
（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据如表

由公式：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．得回归方程为y=0.24x-8.76．

点评 本题考查回归方程、残差分析，考查学生的计算能力，属于中档题．