Question

18．数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}+1}$（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：a_n+1＜a_n；
（Ⅱ）记数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用作差法结合配方法即可证明a_n+1＜a_n；
（Ⅱ）由1-a_n+1=1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}+1}$=$\frac{1-{a}_{n}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}+1}$，取倒数即可得到${a}_{n}=\frac{1}{1-{a}_{n}}-\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$，累加后放缩得答案．

解答 证明：（Ⅰ）∵${{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}+1=（{a}_{n}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0，且a₁=$\frac{1}{2}$＞0，∴a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}+1}$-a_n=$\frac{-{a}_{n}（{a}_{n}-1）^{2}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}+1}$＜0．
∴a_n+1＜a_n；
（Ⅱ）∵1-a_n+1=1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}+1}$=$\frac{1-{a}_{n}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{1-{a}_{n+1}}=\frac{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}+1}{1-{a}_{n}}$=$\frac{1}{1-{a}_{n}}-{a}_{n}$．
∴${a}_{n}=\frac{1}{1-{a}_{n}}-\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$，
则${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}=2-\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$，
又a_n＞0，
∴${S}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}=2-\frac{1}{1-{a}_{n+1}}＜1$．

点评 本题考查数列递推式，训练了作差法与放缩法证明数列不等式，是中档题．