Question

15．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+1，0≤x≤1\\ \frac{1}{2}sin（{\frac{π}{4}x}）+\frac{3}{2}，1＜x≤4\end{array}\right.$，若不等式f²（x）-af（x）+2＜0在x∈[0，4]上恒成立，则实数a取值范围是（　　）

• A． $a＞2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}＜a＜3$
• C． a＞3
• D． $3＜a＜2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 这是一个复合函数的问题，通过换元t=f（x），可知新元的范围，然后分离参数，转互为求函数的最值问题，进而计算可得结论．

解答 解：由题可知，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1∈[1，2]，
当x∈（1，4]时，$\frac{π}{4}$x∈（$\frac{π}{4}$，π]，sin（$\frac{π}{4}$x）∈[0，1]，f（x）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{4}$x）+$\frac{3}{2}$∈[$\frac{3}{2}$，2]，
所以当x∈[0，4]时f（x）∈[1，2]，令t=f（x），则t∈[1，2]，
从而问题转化为不等式t²-at+2＜0在t∈[1，2]上恒成立，
即a＞$\frac{{t}^{2}+2}{t}$=t+$\frac{2}{t}$在t∈[1，2]上恒成立，
问题转化为求函数y=t+$\frac{2}{t}$在[1，2]上的最大值，
又因为y=t+$\frac{2}{t}$在[1，2]上单调递减，
所以y=t+$\frac{2}{t}$≤1+2=3，
所以a＞3，．
故选：C．

点评 本题考查复合函数的恒成立问题，考查换元法，考查分离参数解决恒成立问题，涉及三角函数在区间上的值域问题，注意解题方法的积累，属于中档题．