Question

已知关于x的函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数没有零点，求实数a取值范围.

Answer 1

（1）函数的极小值为；（2）.

试题分析：（1），当 时，
可利用导函数的符号判断函数的单调性并求得极值；
（2）要使函数没有零点，可借助导数研究函数的单调性及极值，参数的值要确保在定义域内恒正（或恒负），即函数的最小值为正，或最大值为负，并由此求出的取值范围.
试题解析：
解：（1），.  2分
当时，,的情况如下表：

		2
		0
	↘	极小值	↗

所以，当时，函数的极小值为.  6分
（2）.       7分
当时，的情况如下表：

		2
		0
	↘	极小值	↗

因为F(1)=1＞0,  8分
若使函数F(x)没有零点，需且仅需，解得, 9分
所以此时；10分
当时，的情况如下表：

		2
		0
	↗	极大值	↘

因为,且，
所以此时函数总存在零点. 12分
（或：当时，
当时，令即
由于令
得，即时，即时存在零点.）
综上所述，所求实数a的取值范围是.13分