Question

2．已知f（x）=$\frac{3}{k}$sin$\frac{π（x-2k+2）}{2}$，x∈[2（k-1），2k]，其中k∈N^*，令g（x）=f（x）-|lnx|，则g（x）的零点个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由f（x）的表达式，先求出函数在[0，6]上的解析式和图象，由g（x）=f（x）-|lnx|=0得f（x）=|lnx|，然后作出两个函数的图象，利用数形结合判断交点个数进行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{3}{k}$sin$\frac{π（x-2k+2）}{2}$=$\frac{3}{k}$sin（$\frac{π}{2}$x+（1-k）π），
若k=1，则f（x）=3sin$\frac{π}{2}$x，x∈[0，2]，
若k=2，则f（x）=$\frac{3}{2}$sin（$\frac{π}{2}$x-π）=-$\frac{3}{2}$sin$\frac{π}{2}$x，x∈[2，4]，
若k=3，则f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x-2π）=sin$\frac{π}{2}$x，x∈[4，6]，
由g（x）=f（x）-|lnx|=0得f（x）=|lnx|，
作出函数f（x）与y=|lnx|在[0，6]上的图象，
当k≥3时，f（x）≤1，
由图象可知两个函数有4个交点，即函数g（x）的零点个数为4个，
故选：D．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．