Question

7．若曲线y=$\frac{1}{3}$x³+ax²+x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）
• B． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• C． （-∞，-1]∪[0，+∞）
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出导数，由两直线垂直的条件，可得x²+2ax+1=0有实数解，运用判别式大于等于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：y=$\frac{1}{3}$x³+ax²+x的导数为y′=x²+2ax+1，
由于存在垂直于y轴的切线，
可得x²+2ax+1=0有实数解，
即有△≥0，即有4a²-4≥0，
解得a≥1或a≤-1．
故选B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查二次方程有解的条件，以及不等式的解法，属于中档题．