Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos（A+C）sinA=（sinB-c）cosA，若a=1，且D为BC中点，则AD长度的最大值为$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据条件可以得到c•cosA=sinC，这样根据正弦定理便可得到$\frac{1}{sinA}=\frac{1}{cosA}$，从而得到A=$\frac{π}{4}$，c=$\sqrt{2}sinC$，根据余弦定理可以求出AD的范围．

解答 解：根据条件，-cosBsinA=sinBcosA-ccosA；
∴c•cosA=sinBcosA+cosBsinA；
即c•cosA=sin（A+B）=sinC；
∴$\frac{c}{sinC}=\frac{1}{cosA}$；
有$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，a=1；
∴$\frac{1}{sinA}=\frac{1}{cosA}$；
∴sinA=cosA；
∴$A=\frac{π}{4}$；
∴$c=\sqrt{2}sinC$；

如上图所示，BC=1，延长AD一倍到点E，作CF⊥AB，设∠FCB=α，则CF=AF=cosα，FB=sinα，
∠ACE=$\frac{3π}{4}$，CE=AB=sinα+cosα，AC=$\sqrt{2}$cosα；
∴AE²=AC²+CE²-2AC•CE•cos$\frac{3π}{4}$=1+4cos²α+4sinαcosα=3+2$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）；
所以，当α=$\frac{π}{8}$时，AE²最大，为3+2$\sqrt{2}$；
此时，AE最大，为1+$\sqrt{2}$，AD=$\frac{1}{2}$AE最大值为$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查两角和的正余弦公式，三角形的内角和为π，三角函数的诱导公式，以及正弦定理，直角三角形边的关系．