Question

已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²=

2

3+cos2θ

，以极点O为原点，以极轴为x轴正向建立直角坐标系，将曲线C₁上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的

1

2

倍后得曲线C₂．
（1）试写出曲线C₁的直角坐标方程．
（2）在曲线C₂上任取一点R，求点R到直线l：x+y-5=0的距离的最大值．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,点到直线的距离公式

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ²=

2

3+cos2θ

，即 （ρcosθ）²+ρ²=1，再把它化为直角坐标方程．
（2）由题意可得曲线C₂的方程为

x2

2

+4y²=1，求得曲线C₂的参数方程，设点R（

2

cosθ，

1

2

sinθ），求得点R到直线l：x+y-5=0的距离为d=

| 2 cosθ+ 1 2 sinθ-5|

2

=

| 3 2 sin(α+θ)-5|

2

，再利用正弦函数的值域求得d的最大值．

解答： 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ²=

2

3+cos2θ

=

2

2cos2θ+2

=

1

cos2θ+1

，
即 （ρcosθ）²+ρ²=1，化为直角坐标方程为 2x²+y²=1．
（2）将曲线C₁上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的

1

2

倍后得曲线C₂．
在曲线C₂上任取一点（x，y），它在曲线C₁上的对应点（ m，n），
则由题意可得 x=2m，y=

n

2

，2m²+n²=1．
∴2×(

x

2

)2+（2y）²=1，即

x2

2

+4y²=1，故曲线C₂的参数方程为

x= 2 •cosθ y= 1 2 •sinθ

 （θ为参数），
故可设点R（

2

cosθ，

1

2

sinθ），点R到直线l：x+y-5=0的距离d=

| 2 cosθ+ 1 2 sinθ-5|

2

 
=

| 3 2 sin(α+θ)-5|

2

≤

|- 3 2 -5|

2

=

13 2

4

，
故点R到直线l：x+y-5=0的距离的最大值为

13 2

4

．

点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，求出点P的坐标，是解题的难点，属于基础题．