Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（

2

，0），其短轴上的一个端点到F的距离为

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l₁，l₂交“准圆”于点M，N．
（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l₁，l₂的方程并证明l₁⊥l₂；
（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用已知椭圆的标准方程及其b=

a2-c2

即可得出；
（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆相切?△=0，即可解得k的值，进而利用垂直与斜率的关系即可证明；
（ii）分类讨论：l₁，l₂经过点P（x₀，y₀），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜率是否存在，都有l₁，l₂垂直．即可得出线段MN为准圆x²+y²=4的直径．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（

2

，0），其短轴上的一个端点到F的距离为

3

．
∴c=

2

，a=

3

，
∴b=

a2-c2

=1，
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1，
∴准圆方程为x²+y²=4．
（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x²+y²=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），
设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，
联立

y=kx+2 ，  x2 3 +y2=1 ，

得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∵直线y=kx+2与椭圆相切，
∴△=144k²-4×9（1+3k²）=0，解得k=±1，
∴l₁，l₂方程为y=x+2，y=-x+2．
∵kl1•kl2=-1，
∴l₁⊥l₂．
（ⅱ）①当直线l₁，l₂中有一条斜率不存在时，不妨设直线l₁斜率不存在，
则l₁：x=±

3

，
当l₁：x=

3

时，l₁与准圆交于点(

3

，1)，(

3

，-1)，
此时l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可证当l₁：x=-

3

时，直线l₁，l₂垂直．
②当l₁，l₂斜率存在时，设点P（x₀，y₀），其中

x

2 0

+

y

2 0

=4．
设经过点P（x₀，y₀）与椭圆相切的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
∴由

y=t(x-x0)+y0 x2 3 +y2=1

得 (1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0．
由△=0化简整理得 (3-

x

2 0

)t2+2x0y0t+1-

y

2 0

=0，
∵

x

2 0

+

y

2 0

=4，∴有(3-

x

2 0

)t2+2x0y0t+(

x

2 0

-3)=0．
设l₁，l₂的斜率分别为t₁，t₂，
∵l₁，l₂与椭圆相切，
∴t₁，t₂满足上述方程(3-

x

2 0

)t2+2x0y0t+(

x

2 0

-3)=0，
∴t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
综合①②知：∵l₁，l₂经过点P（x₀，y₀），又分别交其准圆于点M，N，且l₁，l₂垂直．
∴线段MN为准圆x²+y²=4的直径，|MN|=4，
∴线段MN的长为定值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、新定义、直线与椭圆相切?△=0、直线垂直与斜率的关系、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．