题目内容

在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：
|x|
a
+
|y|
b
=1（a＞b＞0）所围成的封闭图形的面积为4
2
，曲线C1上的点到原点O的最短距离为
2
2
3
．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2．
（1）求椭圆C2的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．
①若MO=2OA，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
②若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）曲线C1所围成的图形为菱形，由菱形的面积为4
2
，结合原点到菱形一边的距离为
2
2
3
列关于a，b的方程组，求解后得椭圆C2的标准方程；
（2）①AB为过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，则l过坐标原点O，设出A点和M点的坐标，
由MO=2OA，可得|
OM
|=2|
OA
|，
OA
•
OM
=0，由此把A的坐标用M的坐标表示，然后把A的坐标代入椭圆方程求得点M的轨迹方程；
②法1、设出M点的坐标，由OM和OA垂直，把A的坐标用参数λ和M的坐标表示，然后利用两点都在椭圆上列式，整体运算把M的坐标用参数λ表示，代入三角形的面积公式后转化为含有λ的代数式，然后利用基本不等式求△AMB的面积的最小值．
法2、分AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时直接求解，斜率存在时，设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后求出A点坐标，进一步求得AB长度的平方，在写出直线l的方程，和椭圆方程联立后求得M的坐标，求得OM长度的平方，然后写出△AMB的面积的平方，利用基本不等式求得△AMB的面积的平方后面积的最小值可求．
解答： 解：（1）由
|x|
a
+
|y|
b
=1，得
x
a
+
y
b
=1(x≥0，y≥0)
-
x
a
+
y
b
=1(x＜0，y≥0)
x
a
-
y
b
=1(x≥0，y＜0)
-
x
a
-
y
b
=1(x＜0，y＜0)
，
又a＞b＞0，
∴曲线C1如图，

则
2ab=4
2
ab
a2+b2
=
2
2
3
，解得a2=8，b2=1．
因此所求椭圆的标准方程为
x2
8
+y2=1；
（2）①设M（x，y），A（m，n），
则由题设知：|
OM
|=2|
OA
|，
OA
•
OM
=0．
即
x2+y2=4(m2+n2) 
mx+ny=0 
，
解得
m2=
1
4
y2 
n2=
1
4
x2
，
∵点A（m，n）在椭圆C2上，
∴
m2
8
+n2=1，
即
(
y
2
)2
8
+(
x
2
)2=1，亦即
x2
4
+
y2
32
=1．
∴点M的轨迹方程为
x2
4
+
y2
32
=1；
②（方法1）设M（x，y），则A（λy，-λx）（λ∈R，λ≠0），
∵点A在椭圆C2上，
∴λ2（y2+8x2）=8，即y2+8x2=
8
λ2
（i）
又x2+8y2=8（ ii）
（i）+（ ii）得x2+y2=
8
9
(1+
1
λ2
)，
∴S△AMB=OM•OA=|λ|(x2+y2)=
8
9
(|λ|+
1
|λ|
)≥
16
9
．
当且仅当λ=±1（即kAB=±1）时，(S△AMB)min=
16
9
．
（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，
设AB所在直线方程为y=kx（k≠0）．
解方程组
x2
8
+y2=1 
y=kx 
得xA2=
8
1+8k2
，yA2=
8k2
1+8k2
，
∴OA2=xA2+yA2=
8
1+8k2
+
8k2
1+8k2
=
8(1+k2)
1+8k2
，AB2=4OA2=
32(1+k2)
1+8k2
．
又
x2
8
+y2=1
y=-
1
k
x

解得xM2=
8k2
k2+8
，yM2=
8
k2+8
，
∴OM2=
8(1+k2)
k2+8
．
由于S△AMB2=
1
4
AB2•OM2=
1
4
×
32(1+k2)
1+8k2
×
8(1+k2)
k2+8

=
64(1+k2)2
(1+8k2)(k2+8)
≥
64(1+k2)2
(
1+8k2+k2+8
2
)2
=
64(1+k2)2
81
4
(1+k2)2
=
256
81
，
当且仅当1+8k2=k2+8时等号成立，即k=±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S△AMB=
16
9
． 
当k=0，S△AMB=
1
2
×4
2
×1=2
2
＞
16
9
；
当k不存在时，S△AMB=
1
2
×2
2
×2=2
2
＞
16
9
．
综上所述，△AMB面积的最小值为
16
9
．
点评：本题考查了椭圆轨迹方程的求法，训练了利用代入法求动点的轨迹问题，在求△AMB的面积的最小值时，运用了一题多解的办法，方法1充分体现了向量在解决问题中的灵活性，方法2是学生容易想到的办法，但运算量过大，要求学生具有较强的计算能力，两种方法都涉及到利用基本不等式求最值，是压轴题．
练习册系列答案
相关题目
若集合A={x|2x-1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=（　　）
A、{
1
2
，1}
B、（-1，1）
C、[-1，
1
2
]
D、（
1
2
，1）
已知函数f(x)=lnax+bx+
a
x
（a、b为常数），在x=-1时取得极值．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当a=-1时，关于x的方程f（x）=2x+m有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）数列{an}满足an=1-
1
an-1+1
（n∈N*且n≥2），a1=
1
2
，数列{an}的前n项和为Sn，求证：2n•an≥eSn+an-1（n∈N*，e是自然对数的底）．
已知函数f(x)=lnx-bx-
a
x
（a、b为常数），在x=1时取得极值．
（1）求实数a-b的值；
（2）当a=-1时，求函数g（x）=f（x）+2x的最小值；
（3）当n∈N*时，试比较(
n
n+1
)n(n+1)与(
1
e
)n+2的大小并证明．
函数y=
1
x
的图象是由y=
-3x-2
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．
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．
若函数y=f（x）的图象经过点（1，-2），则函数y=2f（x）+1的图象必经的点的坐标是
 
．
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A、6B、5C、4D、3

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