Question

函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，f（x）＞0．满足f（x•y）=f（x）•f（y），且在区间（0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）

• A、[1，2]
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、[

  1

  2

  ，1﹚∪（1，2]
• D、（0，1）∪（1，2]

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由条件令x=y=1可得f（1）=1．令x=y=-1，则f（-1）=1．令y=-1，则f（-x）=f（x）f（-1）=f（x），即有f（x）为偶函数，原不等式即为2f（log₂a）≤2f（1），则f（|log₂a|）≤f（1），由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则|log₂a|≤1，且log₂a≠0，解出即可．

解答： 解：由于f（x•y）=f（x）•f（y），f（x）＞0，
则令x=y=1可得f（1）=f2（1），即有f（1）=1．
令x=y=-1，则f（1）=f2（-1）=1，则f（-1）=1．
令y=-1，则f（-x）=f（x）f（-1）=f（x），即有f（x）为偶函数，
由f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤2f（1），即为f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即2f（log₂a）≤2f（1），
则f（|log₂a|）≤f（1），
由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
则|log₂a|≤1，且log₂a≠0解得

1

2

≤a＜1或1＜a≤2．
故选C．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的奇偶性、单调性及运用，考查对数的运算，及解对数不等式的能力，属于中档题和易错题．