Question

设f₁（x）=cosx，定义f_n+1（x）为f_n（x）的导数，即f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N₊，若△ABC的内角A满足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=0，则sinA的值是（　　）

• A、1
• B、

  3

  2

• C、

  2

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：由已知分别求出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），得到从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环，再结合f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）+f₂₀₁₄（A）=0得到cosA-sinA=0，则A可求．

解答： 解：∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0
∴f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=cosx，
f₂₀₁₄（x）=）=f_4×503+2（x）=f₂（x）=-sinx，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）+f₂₀₁₄（A）=0，
∴cosA-sinA=0，
∵A为三角形的内角
∴sinA=

2

2

．
故选：C．

点评：本题考查了导数的运算，考查了基本初等函数的导数公式，关键是规律的发现．是中档题．