Question

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点（

an

，a_n+1）（n∈N*）在函数y=2x²的图象上．
（1）若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，c_n=n•log₂b_n，求{

1

cn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题设条件知a_n+1=2a_n，所以a_n=2^n-1．
（Ⅱ）由题设条件知S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²++（n-1）×2^n-2+n×2^n-1，2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³++（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，再用错位相减法求解．

解答： 解：（Ⅰ）因为点（

an

，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=2x²的图象上，
所以a_n+1=2a_n，
根据等比数列的定义：{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a_n=2^n-1．
∵b_n+1=b_n+a_n，
∴b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+2⁰+2¹+…+2^n-2=1+

1-2n-1

1-2

=2^n-1．
（Ⅱ），c_n=n•log₂b_n=n（n-1）．
∴

1

cn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查等比数列的概念和性质及其应用，考查利用裂项法求数列的和，解题时要注意公式的灵活运用．