Question

11．下列命题中真命题有（1），（5）
（1）已知集合A={1，2}，$B=\left\{{x\left|{x=\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，若B⊆A，则a的值为$1或\frac{1}{2}$
（2）已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{2-a}）x+1，（{x＜1}）\\{a^x}，（{x≥1}）\end{array}\right.$（a＞0，a≠1）是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，2）
（3）函数$f（x）=\frac{1}{x}$在定义域（-∞，0）∪（0，∞）上是减函数
（4）$\left\{{x∈N\left|{\frac{6}{6-x}∈N}\right.}\right\}=\left\{{\frac{6}{6-x}∈N\left|{x∈N}\right.}\right\}$
（5）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，则x∈[-4，-2]时，f（x）的最小值是$-\frac{1}{9}$．
（6）若A={x|y=x²+1}，B={y|y=x²+1}，C={（x，y）|y=x²+1}，则A∪B=C．

Answer 1

分析 （1），（2），（3），（4），（6）可直接根据定义判断，得出结论；
（5）可根据递推关系得出f（x）=$\frac{1}{3}$f（x+2）=$\frac{1}{9}$f（x+4），当则x∈[-4，-2]时，x+4∈[0，2]，代入表达式即可．

解答 解：（1）已知集合A={1，2}，$B=\left\{{x\left|{x=\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，若B⊆A，则x=1或x=2，故a的值为$1或\frac{1}{2}$，故正确；
（2）已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{2-a}）x+1，（{x＜1}）\\{a^x}，（{x≥1}）\end{array}\right.$（a＞0，a≠1）是R上的增函数，
∴2-a＞0，a＞1，a＞2-a+1，那么a的取值范围是（$\frac{3}{2}$，2），故错误；
（3）函数$f（x）=\frac{1}{x}$在定义域（-∞，0）和（0，∞）上是减函数，但在整个定义域内不递减，故错误；
（4）$\left\{{x∈N\left|{\frac{6}{6-x}∈N}\right.}\right\}=\left\{{\frac{6}{6-x}∈N\left|{x∈N}\right.}\right\}$，代表元素不同，0属于左集合，但0不属于右集合，故错误；
（5）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{3}$f（x+2）=$\frac{1}{9}$f（x+4），
当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，
则x∈[-4，-2]时，f（x）=$\frac{1}{9}$f（x+4）=$\frac{1}{9}$（x+3）²-$\frac{1}{9}$，故最小值是$-\frac{1}{9}$，故正确；
（6）若A={x|y=x²+1}，B={y|y=x²+1}，C={（x，y）|y=x²+1}，集合A，B为数集，集合C为点集，故错误故答案为（1），（5）．

点评 考查了集合的表示方法，函数单调性区间的确定，抽象函数表达式的求解．属于基础题型，用熟练掌握．