Question

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值为3，函数f（x）的图象上相邻两对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，且f（0）=2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向下平移1个单位后得到函数g（x）的图象，试判断g（x）的奇偶性，并求出g（x）在R上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）依题意可求A，周期，利用周期公式可求ω，由f（0）=2sinφ+1=2，可得sinφ=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解函数f（x）的解析式；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求解析式：g（x）=2cos2x，由g（x）=2cos2x的定义域是R，关于原点对称，且g（-x）=g（x）即可判定其是偶函数，由-π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得-$\frac{π}{2}$+kπ≤x≤kπ，k∈Z，即可求得单调递增区间．

解答 解：（1）依题意得：A+1=3，$\frac{2π}{ω}$=π，
∴A=2，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）+1，
∵f（0）=2sinφ+1=2，
∴sinφ=$\frac{1}{2}$，
又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
（2）依题意得：g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+1-1=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，
∵g（x）=2cos2x的定义域是R，关于原点对称，且g（-x）=g（x）．
∴g（x）是偶函数．
由-π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得-$\frac{π}{2}$+kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为：[-$\frac{π}{2}$+kπ，kπ]，k∈Z．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．