Question

1．已知函数$f（x）=\sqrt{{x^2}+4}+\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$，则函数y=f（x）的最小值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先换元t=$\sqrt{x^2+4}$∈[2，+∞），原函数可化为g（t）=t+$\frac{1}{t}$，t∈[2，+∞），再根据双勾函数的图象和性质求出f（x）的最小值．

解答 解：令t=$\sqrt{x^2+4}$∈[2，+∞），
则$f（x）=\sqrt{{x^2}+4}+\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$=t+$\frac{1}{t}$，
记g（t）=t+$\frac{1}{t}$，t∈[2，+∞），
根据双勾函数的性质，g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以，当t∈[2，+∞）时，g（t）单调递增，
因此，g（t）_min=g（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
即函数f（x）的最小值为$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了应用函数的单调性求函数的最值，涉及双勾函数的图象和性质，属于中档题．