Question

14．用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N₊）

Answer 1

分析 首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式1+3+5+…+（2k-1）=k²，下面证明当n=k+1时等式左边=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1），根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．

解答 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，
∴左边=右边
（2）假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
综上（1）（2）可知1+3+5+…+（2n-1）=n²对于任意的正整数成立．

点评 本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．