Question

17．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别是棱CC₁，BC，CD的中点，求证：A₁G⊥平面DEF．

Answer 1

分析 连接D₁G，可证明D₁G⊥DE，根据三垂线定理，可证A₁G⊥DE，同理可证A₁G⊥DF，即可证明A₁G⊥平面DEF．

解答 证明：连接D₁G，∵E，G分别是棱CC₁，CD的中点，
∴∠DD₁G=30°，∠D₁DE=60°，可得：D₁G⊥DE，
∵D₁G是A₁G在面DD₁C₁C中的射影，
∴根据三垂线定理，则A₁G⊥DE，
连接AG，∵F，G分别是棱BC，CD的中点，
∴∠DAG=30°，∠ADF=60°，可得：AG⊥DF，
∵AG是A₁G在面ABCD中的射影，
∴根据三垂线定理，则A₁G⊥DF，
又∵DE∩DF=D，
∴A₁G⊥平面DEF．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，三垂线定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．