Question

给出下列命题：
①在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1，y=x

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中由三个是增函数；
②若log_m3＜log_n3＜0，则0＜n＜m＜1；
③若函数f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象观点点（1，0）对称；
④已知函数f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，则方程f（x）=

1

2

有2个实数根；
⑤定义在R上的寒素y=f（x），则y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称
以上命题是真命题的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①利用幂函数的性质可判断在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1，y=x

1

2

，y=（x-1）²，y=x³的单调性，从而可判断①正误；
②由对数函数的单调性质可由log_m3＜log_n3＜0，得到0＜n＜m＜1，从而可判断②的正误；
③函数f（x）是奇函数，其图象关于（0，0）对称，而f（x-1）是函数f（x）的图象向右平移一个单位得到的，从而可判断③的正误；
④作出函数f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，与y=

1

2

的图象，由其交点个数可判断方程f（x）=

1

2

的实数根个数，从而可判断④；
⑤定义在R上的函数y=f（x），利用函数y₁=f（x+a），y₂=f（b-x）的图象关于直线x=

b-a

2

对称，可判断y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，从而可判断⑤的正误．

解答： 解：①在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1是减函数；y=x

1

2

与y=x³是增函数，y=（x-1）²，在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）单调递增，
所以，在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1，y=x

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中只有2个是增函数，故①错误；
②若log_m3＜log_n3＜0，则-log_m3＞log_n3＞0，即log

1

m

3＞log

1

n

3＞0，
所以，1＜

1

m

＜

1

n

，
所以，0＜n＜m＜1，故②正确；
③因为函数f（x）是奇函数，故函数f（x）的图象关于（0，0）对称，而f（x-1）是函数f（x）的图象向右平移一个单位得到的，
所以，f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，即③正确；
④已知函数f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，其图象与y=

1

2

的图象如下：

两曲线有两个个交点，故方程f（x）=

1

2

有2个实数根，故④正确；
⑤因为在同一坐标系中，对于任何两个形如y₁=f（x+a），y₂=f（b-x）的函数，则这两个函数关于直线x=

b-a

2

对称，
所以函数y=f（x-2）和函数y=f（2-x）这两个函数关于直线x=

2-(-2)

2

=2对称，故⑤正确；
综上所述，命题是真命题的是②③④⑤，
故答案为：②③④⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的对称性、单调性、奇偶性的综合应用，属于难题．