Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象过点p（1，-11），且在点P处的切线斜率为-12．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点P（1，-11）与函数图象在点P处的切线斜率为-12，建立关于a和b的方程组，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x），令f'（x）＞0和令f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象过点p（1，-11），
∴f（1）=-11．∴a+b=-12．①
又函数图象在点P处的切线斜率为-12，
∴f′（x）=-12，又f′（x）=3x²+2ax+b，∴2a+b=-15．②
解由①②组成的方程组，可得a=-3，b=-9．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x²-6x-9，
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞3；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜3．
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞），减区间为（-1，3）．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，以及利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．