题目内容
设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2-|x|；
②f（x）=2sin2x-
sin2x-1；
③f（x）=
；
④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．
其中是“倍约束函数”的有（ ）
①f（x）=2-|x|；
②f（x）=2sin2x-
| 3 |
③f（x）=
| x |
| x2-x+3 |
④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．
其中是“倍约束函数”的有（ ）
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：函数的性质及应用
分析：①，易知f（x）=2-|x|≤2，即其值域为（-∞，2]，可判断①；
②，利用降幂公式与辅助角公式可得f（x）=2sin2x-
sin2x-1=-2sin（2x+
），依题意可判断②；
③，通过对x的取值范围，分x=0、x＞0与x＜0三类讨论，利用基本不等式可得f（x）=
的取值范围，从而可判断③；
④，依题意，不妨令f（x）=2x，可判断④．
②，利用降幂公式与辅助角公式可得f（x）=2sin2x-
| 3 |
| π |
| 6 |
③，通过对x的取值范围，分x=0、x＞0与x＜0三类讨论，利用基本不等式可得f（x）=
| x |
| x2-x+3 |
④，依题意，不妨令f（x）=2x，可判断④．
解答：
解：对于①，f（x）=2-|x|≤2，不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，故①不是“倍约束函数”；
对于②，f（x）=2sin2x-
sin2x-1=-cos2x-
sin2x=-2sin（2x+
），|f（x）|≤2，
故存在常数M=2，使|f（x）|≤2|x|对一切实数x均成立，故②是“倍约束函数”；
对于③，f（x）=
，当x=0时，f（x）=0；
当x＞0，0＜f（x）=
≤
=
；
当x＜0时，0＞f（x）=
≥
；
故存在常数M=
，使|f（x）|≤
|x|对一切实数x均成立，故③是“倍约束函数”；
对于④，依题意，曲线y=f（x）上任意一点的切线的斜率k≤2，不妨令f（x）=2x，存在常数M=2＞0，k≤2对一切实数x均成立，故④是“倍约束函数”；
综上所述，是“倍约束函数”的有3个，
故选：C．
对于②，f（x）=2sin2x-
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
故存在常数M=2，使|f（x）|≤2|x|对一切实数x均成立，故②是“倍约束函数”；
对于③，f（x）=
| x |
| x2-x+3 |
当x＞0，0＜f（x）=
| 1 | ||
x+
|
| 1 | ||
2
|
2
| ||
| 11 |
当x＜0时，0＞f（x）=
| 1 | ||
x+
|
| 1 | ||
-2
|
故存在常数M=
2
| ||
| 11 |
2
| ||
| 11 |
对于④，依题意，曲线y=f（x）上任意一点的切线的斜率k≤2，不妨令f（x）=2x，存在常数M=2＞0，k≤2对一切实数x均成立，故④是“倍约束函数”；
综上所述，是“倍约束函数”的有3个，
故选：C．
点评：本题考查函数的性质的综合应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力、运算能力的综合应用，属于难题．
练习册系列答案
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关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A、m＞
| ||
B、m=
| ||
C、m＜
| ||
D、m＜-
|