Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n²-S_n-1²=3n²a_n，a₁=2，a_n≠0，n=2，3，4，…．
（1）设c_n=a_n+a_n+1，求c₁、c₂，并判断数列{c_n}是否为等差数列，说明理由；
（2）求数列{（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1}的前2k+1项的和T_2k+1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把已知数列递推式中的a_n换为a_n=S_n-S_n-1≠0，得S_n+S_n-1=3n²，取n=n+1后得另一递推式，作差后得到c_n=a_n+a_n+1=6n+3，分别求得c₁、c₂，
再求得c₃后由c₂-c₁≠c₃-c₂判断数列{c_n}不是等差数列；
（2）由（1）中的S_n+S_n-1=3n²推得数列{a_2n}是首项为a₂=8，公差为6的等差数列．数列{a_2n-1}是首项为a₃=7，公差为6的等差数列．把T_2k+1=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+a₅a₆-…-a_2ka_2k+1+a_2k+1a_2k+2因式分解后利用等差数列的前n项和求和得答案．

解答： 解：（1）由已知S_n²-S_n-1²=3n²a_n，得
(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n2an．
∵a_n=S_n-S_n-1≠0，
∴S_n+S_n-1=3n² （n≥2）①，
于是S_n+1+S_n=3（n+1）² ②，
由②-①得a_n+1+a_n=6n+3，
即c_n=a_n+a_n+1=6n+3．
∵a₁=2，代入S_n²-S_n-1²=3n²a_n，得a₂=8．
c₁=a₁+a₂=10．
由①得，S₃+S₂=27，即2a₁+2a₂+a₃=27，解得a₃=7．
c₂=a₂+a₃=15．
由①得：Sn+1+Sn=3(n+1)2  ③，
③-①得：a_n+1+a_n=6n+3（n≥2）．
∴c_n=6n+3（n≥2）．
∵c₂-c₁=5，c₃-c₂=6，c₂-c₁≠c₃-c₂．
∴数列{c_n}不是等差数列；
（2）由a_n+1+a_n=6n+3（n≥2）．
得a_n+2+a_n+1=6n+9（n≥2）．
两式作差得：a_n+2-a_n=6（n≥2）．
∴数列{a_2n}是首项为a₂=8，公差为6的等差数列．
数列{a_2n-1}是首项为a₃=7，公差为6的等差数列．
∴T_2k+1=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+a₅a₆-…-a_2ka_2k+1+a_2k+1a_2k+2
=a₁a₂+（a₄-a₂）a₃+（a₆-a₄）a₅+…+（a_2k+2-a_2k）a_2k+1
=16+6a₃+6a₅+…+6a_2k+1
=16+6[7k+

1

2

k(k-1)×6]
=18k²+24k+6．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系额确定，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是数列部分难度较大的题目．