Question

已知函数f（x）=

x

ax+b

（a，b为常数，且a≠0），满足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一实数解，求函数f（x）的解析式和f[f（-4）]的值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（2）=1，方程f（x）=x有唯一解，求出a，b的值，从而求出函数的表达式，进而求出x=-4时的函数值．

解答： 解：∵f（x）=

x

ax+b

且f（2）=1，∴2=2a+b，
又∵方程f（x）=x有唯一实数解，
∴ax²+（b-1）x=0（a≠0）有唯一实数解，
故（b-1）²-4a×0=0，即b=1，又上式2a+b=2，
可得：a=

1

2

，从而f（x）=

x

1 2 x+1

=

2x

x+2

，
∴f（-4）=

2×(-4)

-4+2

=4，f（4）=

8

6

=

4

3

，
即f[f（-4）]=

4

3

．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查了二次函数的性质，是一道中档题．