Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₃=6，且a₁，a₂，a₄成等比数列，数列{b_n}满足b_n+1=2b_n+1，n∈N^*，且b₁=3
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，且c_n=

1

an•log2(bn+1)

，证明：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式和等比数列的性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）利用裂项相消法化简，由其结果可得证．

解答： （1）解：设公差为d≠0，
∵a₃=6，且a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴a₁+2d=6，且（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d），
解得a₁=2，d=2．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2+（n-1）×2=2n；
∵b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∵b₁=3，
∴数列{b_n+1}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴b_n=2ⁿ⁺¹-1；
（2）证明：c_n=

1

an•log2(bn+1)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

）＜

1

2

，
∴S_n＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查裂项相消法对数列求和，考查学生的运算求解能力，是中档题．