Question

已知c＞0，且c≠1．设p：函数y=c^x在上单调递减；q：函数f（x）=x²-2cx+1在（

1

2

，+∞）上为增函数．
（1）若p为真，￢q为假，求实数c的取值范围．
（2）若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,二次函数的性质,指数函数的单调性与特殊点

专题：

分析：利用指数函数与二次函数的单调性，分别求出p，q成立的等价条件，然后利用“p∧q”为假，“p∨q”为真，确定实数c的取值范围．

解答： 解：若p为真，
∵函数y=c^x在R上单调递减，
∴0＜c＜1（2分）
若q为真，
∵函数f（x）=x²-2cx+1在（

1

2

，+∞）上为增函数
f（x）对称轴为x=c，
∴0＜c≤

1

2

 （4分）
（1）∵p为真，￢q为假，

0＜c＜1 c≤ 1 2

∴实数c的取值范围是{c|0＜c≤

1

2

}（6分）
（2）又“p或q”为假，“p且q”为真，
∴p真q假或p假q真，
当p真q假时，

0＜c＜1 c＞ 1 2

即

1

2

＜c＜1
当p假q真时，

c＞1 0＜c＜ 1 2

即无解
实数c的取值范围是{c|

1

2

＜c＜1}（12分）

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系的应用，先求出命题p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．