Question

已知向量

OA

=3i-4j，

OB

=6i-3j，

OC

=（5-m）i-（3+m）j，其中i，j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．
（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）对任意m∈[1，2]，不等式

AC

²≤-x²+x+3恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：（1）依题意，以O为坐标原点建立直角坐标系，可得到点A、B、C的坐标，若A、B、C三点共线，则

AB

=t

AC

，可求得t与m的值，从而可得A、B、C三点不共线，即A，B，C能构成三角形时实数m应满足的条件；
（2）依题意，可求得(

AC

2)max=1，解不等式-x²+x+3≥1即可求得x的取值范围．

解答： 解：（1）依题意，以O为坐标原点建立直角坐标系，则A（3，-4），B（6，-3），C（5-m，-3-m），
∵A，B，C能构成三角形，
则A、B、C三点不共线，
若A、B、C三点共线，则

AB

=t

AC

?（3，1）=t（2-m，1-m），即

2t-tm=3 t-tm=1

，
解得

t=2 m= 1 2

；
∴当m≠

1

2

时，A，B，C能构成三角形；
（2）∵

AC

=（2-m，1-m），m∈[1，2]，
∴

AC

²=（2-m）²+（1-m）²=2m²-6m+5=2（m-

3

2

）²+

1

2

，其对称轴为m=

3

2

，
当m∈[1，

3

2

]时，该函数单调递减，当m∈[

3

2

，2]时，该函数单调递增，
∴当m=1或m=2时，

AC

²取得最大值1．
∵对任意m∈[1，2]，不等式

AC

²≤-x²+x+3恒成立，
∴-x²+x+3≥(

AC

2)max=1，
即x²-x-2≤0，
解得：-1≤x≤2．
∴x的取值范围为[-1，2]．

点评：本题考查函数恒成立问题，主要考查平面向量的坐标运算，考查共线向量基本定理的应用，考查二次函数的单调性质与解不等式的能力，考查转化思想，是难题．