Question

过点P（2，1）的直线l与椭圆

x2

2

+y²=1相交，求椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出直线与椭圆的两个交点A，B的坐标及AB的中点的坐标，利用点差法结合直线斜率得到AB中点所满足的函数关系式．

解答： 解：设直线l交椭圆与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，AB的中点为（x₀，y₀），
则

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，
作差得：

(x1-x2)(x1+x2)

2

=-(y1-y2)(y1+y2)，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

=-

x0

2y0

，
即

y0-1

x0-2

=-

x0

2y0

，整理得：

(x0-1)2

2

+(y0-

1

2

)2=

3

4

．
∴弦的中点的轨迹方程为

(x-1)2

2

+(y-

1

2

)2=

3

4

．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了点差法，是中档题．