给定集合An={1.2.3.-.n}(n∈N+).映射f:An→An满足:①当i.j∈An.i≠j时.f,②任取m∈An.若m≥2.则有m∈{f}．则称映射f:An→An是一个“优映射．例如:用表1表示的映射f:A3→A3是一个“优映射．表1 i123 f(i)231表2i1234f(i)3(1)已知表2表示的映射f:A4→A4是一个“优映射 .请把表2补� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

给定集合A_n={1，2，3，…，n}（n∈N₊），映射f_：A_n→A_n满足：①当i，j∈A_n，i≠j时，f（i）≠f（j）；②任取m∈A_n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．则称映射f_：A_n→A_n是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f_：A₃→A₃是一个“优映射”．
表1

i	1	2	3
f（i）	2	3	1

表2

i	1	2	3	4
f（i）		3

（1）已知表2表示的映射f_：A₄→A₄是一个“优映射”，请把表2补充完整．
（2）若映射f_：A₆→A₆是“优映射”，且方程f（i）=i的解恰有3个，则这样的“优映射”的个数是

．

考点：映射

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据“优映射”的定义可得：

i	1	2	3	4
f（i）	2	3	3	1

（2）根据“优映射”的定义，可知f（1）≠1，m≥2，根据m∈{f（1），f（2），..，f（m）}，且方程f（i）=i的解恰有3个，因此从2，3，…6这5个数中选取3个满足方程f（i）=i即可求得结果．

解答： 解；（1）表2补充完整后如下图所示：

i	1	2	3	4
f（i）	2	3	3	1

（2）根据优映射的定义可知：f（1）≠1，
∵m≥2，则有m∈{f（1），f（2），..，f（m）}，且映射f：A₆→A₆是“优映射”，且方程f（i）=i的解恰有3个，
故有C₅³=10
故答案为：（1）2，4，1，（2）10；

点评：本题考查映射的定义，“优映射”的定义，判断f（1）≠1，是解题的关键，是一道不错的创新题，属中档题．

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