Question

【题目】函数.

（1）求的单调区间；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ) 证明见解析．

【解析】试题分析：

（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；

（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.

试题解析：

（Ⅰ）．

当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．

即在上单调递减；在上单调递增；

综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，

则．

要证≥，即证≥，即+≥0，

即证≥．构造函数，则，

由解得，由解得，

即在上单调递减；在上单调递增；

∴ ，

即≥0成立．从而≥成立．