题目内容
【题目】如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C相距都为5n mile,与小岛D相距为 n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角,且
.
(Ⅰ)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积;
(Ⅱ)记小岛D对小岛B与C的视角为α,小岛B对小岛C与D的视角为β,求sin(2α+β)的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵ ,且角A为钝角,∴
.
在△ABD中,由余弦定理得:AD2+AB2﹣2ADABcosA=BD2 .
∴ AD2+8AD﹣20=0.
解得AD=2或AD=﹣10(舍).
∴小岛A与小岛D之间的距离为2n mile.
∵A,B,C,D四点共圆,∴角A与角C互补.
∴ ,
.
在△BDC中,由余弦定理得:CD2+CB2﹣2CDCBcosC=BD2 .
∴ CD2﹣8CD﹣20=0.
解得CD=﹣2(舍)或CD=10
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△BCD
= =
=3+15=18.
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile.
(Ⅱ)在△BDC中,由正弦定理得: .
∵DC2+DB2>BC2 , ∴α为锐角,∴ .
又∵ ,
.
∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]
=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)
= =
【解析】(Ⅰ)利用余弦定理求出,AD,CD,即可求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积;(Ⅱ)求出sin(α+β),cos(α+β),利用和角的三角函数公式求sin(2α+β)的值.
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【题目】一企业从某生产线上随机抽取40件产品,测量这些产品的某项技术指标值,得到如下的频数表
频数 | 3 | 15 | 17 | 5 |
(1)估计该技术指标值的平均数(以各组区间中点值为代表);
(2)若,则该产品不合格,其余合格产品。产生一件产品,若是合格品,可盈利100元,若不是合格品则亏损20元。从该生产线生产的产品中任取2件,记
为这2件产品的总利润,求随机变量
的分布列和期望值。