Question

【题目】已知数列{an}中各项都大于1，前n项和为Sn ， 且满足an2+3an=6Sn﹣2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）求使得Tn＜ 对所有n∈N*都成立的最小正整数m．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an2+3an=6Sn﹣2，即6Sn=an2+3an+2，

当n≥2时，6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1+2，

两式相减得：6an=an2﹣an﹣12+3an﹣3an﹣1，整理得：an2﹣an﹣12=3an+3an﹣1，

即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=3（an+an﹣1），

∵数列{an}中各项都大于1，

∴an+an﹣1≠0，

∴an﹣an﹣1=3，

当n=1时，a12+3a1=6S1﹣2．解得：a1=2，

∴数列{an}是以2为首项，以3为公差的等差数列，

∴an=2+3（n﹣1）=3n﹣1，

∴数列{an}的通项公式an=3n﹣1

（2）解：bn= = = （ ﹣ ），

数列{bn}的前n项和Tn，Tn=b1+b2+b3+…+bn，

= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]，

= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ），

= （ ﹣ ），

= ，

Tn=

（3）解：Tn＜ 对所有n∈N*都成立的最小正整数m，

Tn= （ ﹣ ）＜ × = ，

即 ≥ ，即m≥6

∴所有n∈N*对所有n∈N*都成立的最小正整数m=6

【解析】【（1）由6Sn=an2+3an+2，当n≥2时，6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1+2，an2﹣an﹣12=3an+3an﹣1 ， 即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=3（an+an﹣1），由an+an﹣1≠0，an﹣an﹣1=3，当n=1时，a1=2，根据等差数列的通项公式，即可求得数列{an}的通项公式；（2）bn= = = （ ﹣ ），利用“裂项法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn；（3）由题意可得Tn= （ ﹣ ）＜ × = ，即 ≥ ，即可求得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．