Question

已知函数f（x）=

2x-1，x≤1 f(x-1)+1，x＞1

，把函数f（x）的图象与直线y=x交点的横坐标按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前10项和为

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念和求和公式即可得所求的解．

解答： 解：当x∈（-∞，1]时，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，
得2^x=x+1．令y=2^x，y=x+1．
在同一个坐标系内作出两函数在区间（-∞，1]上的图象，
由图象易知交点为（0，0）和（1，1），
故得到函数的零点为x₁=0，x₂=1．
当x∈（1，2]时，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1
=2^x-1-1+1=2^x-1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x-1=x．令y=2^x-1，y=x．
在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，
由图象易知交点为（2，2），故得到函数的零点为x₃=2．
当x∈（2，3]时，x-1∈（1，2]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-2+1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-2+1-x=0，得2^x-2=x-1．令y=2^x-2+1，y=x．
在同一个坐标系内作出两函数在区间（2，3]上的图象，
由图象易知交点为（3，3），故得到函数的零点为x₄=3．
依此类推，当x∈（3，4]，x∈（4，5]，…，x∈（n，n+1]时，
构造的两函数图象的交点依次为（4，4），（5，5），…，（n+1，n+1），
得对应的零点分别为x=4，x=5，…，x=n+1．
故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．
其对应的数列的通项公式为a_n=n-1．
则该数列前10项和为

9×10

2

=45．
故答案为：45．

点评：本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示；培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；解题中使用了数形结合和分类讨论的数学方法和数学思想．