题目内容
已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且f（0）•f（1）＞0，a+b+c=0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则x12+x22的取值范围为（ ）
A、[
| ||||||
B、（
| ||||||
C、[
| ||||||
D、（
|
考点：导数的运算,函数的零点与方程根的关系
专题：导数的概念及应用
分析：由求出函数的导数g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，利用根与系数之间的关系得到x1+x2，x1x2的值，将x12+x22进行转化即可求出结论．
解答：
解：∵g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），
∴g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，
∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=-
，x1x2=
，
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=
-
=
，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
得x12+x22=
=
=
[2(
)2+3•
+3]=
（
+
）2+
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即（a+b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，两边同除以a2得，
∴（
+1）（
+2）＜0，
∴-2＜
＜-1，
∴
＜
（
+
）2+
＜
∴x12+x22的取值范围为（
，
）
故选：B
∴g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，
∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=-
| 2b |
| 3a |
| c |
| 3a |
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=
| 4b2 |
| 9a2 |
| 2c |
| 3a |
| 4b2-6ac |
| 9a2 |
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
得x12+x22=
| 4b2-6a(-a-b) |
| 9a2 |
| 4b2+6a2+6ab |
| 9a2 |
| 2 |
| 9 |
| b |
| a |
| b |
| a |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 3 |
| 4 |
| 25 |
| 36 |
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即（a+b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，两边同除以a2得，
∴（
| b |
| a |
| b |
| a |
∴-2＜
| b |
| a |
∴
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 3 |
| 4 |
| 25 |
| 36 |
| 10 |
| 9 |
∴x12+x22的取值范围为（
| 4 |
| 9 |
| 10 |
| 9 |
故选：B
点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．
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函数f（x）=cosx•ln|x|的部分图象为（ ）
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
等轴双曲线的一个焦点是F1（-6，0），则它的标准方程是（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
△ABC中，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=
，则c：sinC等于（ ）
| 3 |
| A、3：1 | ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、2：1 |
已知函数f（x）对任意x∈R都满足f（x+2）=f（x）+2，且当x∈[-1，1]时，f（x）=