Question

已知函数f（x）对任意x∈R都满足f（x+2）=f（x）+2，且当x∈[-1，1]时，f（x）=

2x

|x|+1

；又 g（x）=x²-（4k-2）x+k²+558（k为常数，且k∈Z）．
（1）作出f（x）在区间[-1，1]上的图象，并求x∈[1，3]时f（x）的解析式和值域；
（2）对于实数集合M，若{y|y=f（x），x∈M}={y|2k-1≤y≤2k+1}，试求出集合M（用含k的代数式表示）；
（3）若对任意 x₁∈[2k-1，2k+1]，总存在x₂∈[2k-1，2k+1]，使得 g（x₂）≥f（x₁）成立，试求出满足条件的所有k值的和．

Answer 1

考点：函数图象的作法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）画出函数的图象，根据函数值得求法求出值域，
（2）先求出f（x）的值域为[2k-1，2k+1]，再根据f（x）在R上单调递增，问题得以解决，
（3）由题意，g（x）_max≥f（x）_max，得到不等式-3k²+4k+561≥2k+1，求得k的范围，继而求出k的值得和

解答： 解：（1）函数图象如图所示

当x∈[1，3]时，x-2x∈[-1，1]，
∵f（x+2）=f（x）+2=

2(x-2)

|x-2|+1

+2；
因为此时f（x-2）的值域为[-1，1]，所以f（x）的值域为[1，3]；
（2）①当x∈[2k-1，2k+1]时，x-2k∈[-1，1]，f（x）=f（x-2k）+2k，（*）
因为此时f（x-2k）的值域为[-1，1]，所以f（x）的值域为[2k-1，2k+1]．
②因为y=f（x），x∈[2k-1，2k+1]的图象由y=f（x），（x∈[-1，1]平移得到，
所以y=f（x）在区间[2k-1，2k+1]上仍然单调递增，
又由（*）式，对一切n∈Z均有f（n）=n，
所以f（x）在R上单调递增，
综合 ①②，当且仅当x∈[2k-1，2k+1]时，f（x）∈[2k-1，2k+1]时，
所以，集合M=[2k-1，2k+1]．
（3）由题意，g（x）_max≥f（x）_max，x∈[2k-1，2k+1]时，f（x）_max=2k+1，
g（x）在[2k-1，2k+1]上单调递增，g（x）_max=g（2k+1）=-3k²+4k+561，
所以-3k²+4k+561≥2k+1，解得-

40

3

≤k≤14，
因为k∈Z，满足条件的所有k值的和为（-13）+（-12）+…+14=

-13+14

2

×28=14．

点评：本题主要考查了函数图象的画法，函数的解析式值域的求法，函数的单调性以及不等式的解法，属于中档题